3.2 十二平均律音階

　　十二平均律是數(shù)學首先作出貢獻的，它巧妙地應用了無理數(shù)，在一個純八度音之間( 即1 與 2 之間)插入 11 個音，使它們的頻率組成等比數(shù)列，顯然其公比是“2的12次方根” (即2開12次方)，是個無理數(shù)，取其小數(shù)8位得出公比q=1.05946309 ，在12個“半音”之間，任何相鄰兩音(即半音)頻率之比都是q，這就構成了十二平均律音階，并約定a1為國際標準音(a1=440Hz)。將各音名與及其基準音a1頻率的相關系數(shù)(§)和算出的頻率(§a1)分別列于表2的第一列、第2列和第3列。

　　十二平均律音階的特點是插入的半音：♭b1和#a1，♭d2和#c2，

　　♭e2和#d2，♭g2和#f2，♭a2和#g2都是相等音，12個音名都可以做主音構成曲調，轉調極為方便，其所構成的純五度和純四度，高、低兩音的頻率之比分別是q7=1.498307和q5=1.334840，不但與“五度律七聲音階”的純五度、純四度音程分別是3/2和4/3已十分接近，誤差

　　分別為-0.001693，+0.001507，而且分別與主音構成的“屬音”和“下屬音”的協(xié)和關系，非專業(yè)人員用聽覺去判別是難于區(qū)分的。

　　3.3“五度律七聲音價”的校準

　　“辨音能力”是演奏者必須具備對揚琴進行校音的基本能力，主要是辨別與標準音相比較的“同度音”(包括“異位同音”)、純八度音、純五度音和純四度音，這些都是“協(xié)和音”，“協(xié)和音”是指高低兩個音，不論是先后快速奏出，還是同時奏出，其“余音”都能令人發(fā)生和諧安定的感覺，這是用聽覺判斷兩個音協(xié)和程度的標準，只有通過反復實踐、總結，練就一雙敏銳的聽覺才能掌握這一標準。

　　“五度律七聲音價”適用于傳統(tǒng)揚琴(即老式揚琴)，因其左邊一排琴碼，左、右兩音是純五度的關系，即高、低兩音的頻率之比有固定關系，即3/2，當同一琴弦在相同琴碼上，左、右兩邊的張力平衡時(張力平衡問題參看第4章)，校準其中的一個音，則另一個純五度音則隨之而產生，只要掌握純八度和純五度的辨別能力就可進行校準。

　　老式揚琴音名排列見表3。首先校準a1(=440Hz)作為標準音，則可以分別“上行純八度”、“上行純五度”和“下行純五度”產生a2、e2和d1;d1“上行純八度”產生d2和g1;e2“下行純八度”產生e1，e1“上行純五度”產生b1和#f2。然后仿照此方法，分別以g1和b1為起點，利用純八度、純五度和“異位同音”派生出其余各音。

　　按表3音名排序，雙七型揚琴為G調音階;雙十型揚琴的第八碼同時升高半音，即#c3、 #f2、#c2，利用其“異位同音”則變成了D調音階(見表3的斜體)，D調音階最接近十二平均率音階，特別是其主音、屬音、上主音和下屬音的誤差都最小，不論是大調還是小調，都是構成“調(diao)音”之大三和聲或小三和聲的根音，完全可以參與十二平均律的演奏。這種校準方法是靠調律者聽覺的靈敏度對音準做出判斷，存在著人為偏差，但有一組固定的純五度音作參考，偏差可控制在允許范圍內，而且只需一個標準音a1，簡單易學，成本低。